Золотое сечение (золотая пропорцияделение в крайнем и среднем отношениигармоническое деление) — соотношение двух величин a и b, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же как сумма величин к бо́льшей, то есть:  {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.} 

Исторически изначально в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка AB точкой C на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей{\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}}. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой \Phi  (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой \tau .

Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число {\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}

Обратное число, обозначаемое строчной буквой \varphi ,{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0.61803}

Отсюда следует, что \varphi = \Phi-1.

Число \Phi  называется также золотым числом.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением \Phi  = 1,618 или \Phi  = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, произведение 1,6180339… × 1,6180339… = 2,6180339…) но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Золотое сечение
Золотое сечение
Золотое сечение
Золотое сечение

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этом отношении «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года. В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.

Математические свойства

  • \Phi  — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения x^{2}-x-1=0, откуда, в частности, следуют соотношения: \Phi^2- \Phi=   1, \Phi\cdot (\Phi - 1) = 1.
  • \Phi  — представляется через тригонометрические функции:
    • \Phi = 2  \cos \frac{\pi}5 = 2  \cos 36^\circ.
    • \Phi = 2  \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ.
  • При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение.

\frac 1\Phi = \varphi = \operatorname{tg} \left ( \frac {\operatorname{arctg}(2)}{2} \right ) = \frac {2}{1+\sqrt{1+2^2}} = \frac {2}{1+\sqrt5} = \frac {\sqrt5-1}{2}.

  • \Phi  представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:\Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.
  • \Phi\; представляется в виде бесконечной цепной дроби \Phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}. Таким образом,

  • \Phi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.
  • Мера иррациональности \Phi  равна 2.

Отрезание квадрата от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения

  • Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон \Phi = a/b , что и у исходного прямоугольника \Phi = (a+b)/a .

Золотое сечение в пятиконечной звезде

  • В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны \Phi . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно \Phi .
Золотое сечение в пятиконечной звезде и отрезание квадрата
Золотое сечение в пятиконечной звезде и отрезание квадрата

Построение золотого сечения

  • Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный BC, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда:

\Phi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|BE|}.

Построение золотого сечения
Построение золотого сечения
  • Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — начертить сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE=DE=1/2. От точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ВE=СE=\frac{\sqrt5}2. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=СЕ=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной \Phi . Так как DH=EH-ED, другим результатом будет отрезок DH длиной \varphi .

Золотое сечение в науке

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведенная на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr
Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединенных последовательно пружинами одинаковой жесткости.

Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф
Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф

Полностью эти две задачи рассматриваются в книге «В поисках пятого порядка», глава «Две простые задачки». Более сложные примеры на механические колебания и их обобщения рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, физиологии.

Золотое сечение сильно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.70 , то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н+20)21, который представляет из себя ион Н30+, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра[21]. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

  • Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
  • Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты.
  • Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах. Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте).

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

Мозаика Пенроуза
Мозаика Пенроуза
Флаг Того
Флаг Того

Золотое сечение в биологии и медицине

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов и др.

Золотое сечение в природе
Золотое сечение в природе
Золотое сечение в природе
Золотое сечение в природе

Смотрите также видео про золотое сечение.

Золотое сечение

Добавить комментарий